题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，底面为梯形，
，
，且
，
.
（1）求二面角
的大小；
（2）在线段
上是否存在一点
，使得
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】分析：（1）先根据条件证得
，
.再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得平面
的一个法向量以及平面
的一个法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定结果，（2）设
，利用向量垂直对应向量数量积为零解得
，即得结果.
详解： （1）因为梯形
中，
，
，所以
.
因为
平面，所以，
.
如图，以
为原点，
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，所以
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，平面的一个法向量为
，
因为
，
，
所以
即
取
，得到
，
同理可得
，
所以
，
因为二面角
为锐角，
所以二面角为.
（2）假设存在点
，设
，
所以
，
所以
,解得
,
所以存在点,且
.
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