题目内容

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA,AB,AD两两互相垂直,已知AD∥BC,BC=2AD,E是PB的中点.
(1)求证:AE∥平面PCD;
(2)若平面PBC⊥平面PCD,PA=AB=6,BC=3,求点E到平面PCD的距离d;
(3)设二面角P-BC-D为45°,且PA=AD,求二面角B-PC-A的大小.
分析:(1)设PC中点为M,连接EM,MD,证出AEMD为平行四边形.得出AE∥DM,证出AE∥面PCD即可.
(2)作EG⊥PC于G,利用面PBC⊥面PCD,证出EG⊥面PCD,设EG=d.利用△PBC∽△PGE 解出即可.
(3)作EG⊥PC于G,连接AG,由三垂线定理,∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角,解直角三角形EAG得出结果.
解答:(1)证明:设PC中点为M,连接EM,MD,∵E,M 为PB,PC的中点
∴EM∥
1
2
BC,∵BC∥2AD,∴EM∥AD,EM=AD,∴AEMD为平行四边形.
∴AE∥DM,DM?面PCD,∴AE∥面PCD.
(2)解:作EG⊥PC于G,∵面PBC⊥面PCD,∴EG⊥面PCD,∴EG即为所求,设EG=d,
显然△PBC∽△PGE,∴
EG
3
=
3
2
9
,d=EG=
2

(3)解:由BC⊥AB,BC⊥PB,∴P-BC-D的平面角为∠PBA=45°,连接AE,E为PB中点.
PA=AB=AD
PA⊥AD,PA⊥AB
AE⊥PB
BC⊥面PAB
,则AE⊥面PBC.由(2)EG⊥PC于G,连接AG
由三垂线定理,∠EGA为二面角B-PC-A 的平面角.设PA=1,∴AE=
2
2
,由(2)的计算方法知:EG=
1
3
∴tan∠EGA=
AE
EG
=
6
2

二面角B-PC-A的大小为arctan
6
2

点评:本题主要考查空间角,距离的计算,线面平行、垂直,面面垂直的定义,性质、判定,考查了空间想象能力、计算能力,分析解决问题能力.空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法.
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