Question

8．若方程（x-1）⁴+mx-m-2=0各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4，k∈N^*）所对应的点$（{x_i}，\frac{2}{{{x_i}-1}}）$，（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-1，7）
• B． （-∞，-7）∪（-1，+∞）
• C． （-7，1）
• D． （-∞，1）∪（7，+∞）

Answer 1

分析 原方程等价于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，原方程的实根是曲线y=（x-1）³+m与曲线y=$\frac{2}{x-1}$的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m＞0与m＜0讨论，可得答案．

解答 解：方程的根显然x≠1，原方程等价于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，
原方程的实根是曲线y=（x-1）³+m与曲线y=$\frac{2}{x-1}$的交点的横坐标，
而曲线y=（x-1）³+m是由曲线y=（x-1）³向上或向下平移|m|个单位而得到的，
若交点（xi，$\frac{2}{{x}_{i}-1}$）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=$\frac{2}{x-1}$交点为：（-1，-1），（2，2）；
所以结合图象可得，

由（2-1）³+m=2，解得：m=1，
由（-1-1）³+m=-1，解得：m=7
∴m＜1或m＞7，
故选：D．

点评 本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质