题目内容
（2006•朝阳区二模）已知向量
=（cos
，
cos
），
=（sin
，cos
），函数f（x）=
•
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
| m |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
| n |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| m |
| n |
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
分析：（I）由向量的数量积公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）=
•
=sin（
+
）+
；
（II）由正弦函数的图象与性质，解不等式2kπ-
≤
+
≤2kπ+
（k∈Z），即可求出f（x）的单调递增区间为[3kπ-
，3kπ+
]（k∈Z）；
（III）利用余弦定理和基本不等式，算出cosx≥
，从而得出x∈（0，
]．再求f（x）=sin（
+
）+
在区间（0，
]上的最大最小值，即可算出函数f（x）的值域．
| m |
| n |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（II）由正弦函数的图象与性质，解不等式2kπ-
| π |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（III）利用余弦定理和基本不等式，算出cosx≥
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵向量
=（cos
，
cos
），
=（sin
，cos
），
∴f（x）=
•
=cos
sin
+
cos2
=
cos2
+
(1+cos2x)=sin（
+
）+
．…（5分）
（Ⅱ）由2kπ-
≤
+
≤2kπ+
（k∈Z），得3kπ-
≤x≤3kπ+
（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[3kπ-
，3kπ+
]（k∈Z）．…（9分）
（Ⅲ）cosx=
=
≥
=
，
∵x是△ABC的内角，可得x∈（0，
]．
∴
+
∈（
，
]，可得
≤sin（
+
）≤1
∴f（x）的值域是（
，1+
]．…（13分）
| m |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
| n |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
∴f（x）=
| m |
| n |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅱ）由2kπ-
| π |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴f（x）的单调递增区间为[3kπ-
| 5π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（Ⅲ）cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2a c -ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵x是△ABC的内角，可得x∈（0，
| π |
| 3 |
∴
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）的值域是（
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题着重考查了向量的数量积运算公式、三角函数的图象与性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
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