题目内容

(本小题12分)如图所示,三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形,俯视图是等腰直角三角形,点M是A1B1的中点.

(1)求证:B1C∥平面AC1M;
(2)求证:平面AC1M⊥平面AA1B1B.

(1) 由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,从而可知MO∥B1C,利用线面的平行的判定定理,得到结论。
(2)根据题意,由于MO∥B1C,同时能结合性质可知平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,从而利用面面垂直的性质定理得到。

解析试题分析:(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱,底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90°.
连结A1C,设A1C∩AC1=O,连结MO,
由题意可知,A1O=CO,A1M=B1M,
∴MO∥B1C,
又MO?平面AC1M,
B1C?平面AC1M,∴B1C∥平面AC1M.
(2)∵A1C1=B1C1,M为A1B1的中点,
∴C1M⊥A1B1
又平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,
平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1
∴C1M⊥平面AA1B1B,
考点:空间中线面和面面的位置关系
点评:解决的关键是是熟练的运用性质定理和判定定理,来证明,属于基础题。

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