Question

（2006•静安区二模）一个数表如图所示：

对于任意的正整数n，表中第n+1行中的数均由第n行中的数按相同规律生成得到．设K_n表示位于第n行的数的个数，S_n表示第n行各数的和．
（1）试求K₆、S₆；
（2）求S_n；
（3）若a_ni表示数表中第n行第i个数，试用a_ni表示第n+1行中由a_ni所生成的数（写出它们之间的关系式）．

Answer 1

分析：（1）{K_n}是一个以1首项，以2为公比的等比数列，当n≥2时，S_n=3×2^n-2，代入可得K₆、S₆；
（2）由（1）中结论，结合S₁=1，可得S_n；
（3）第n行第i个数，在第n+1行为第2i-1和2i个数，前面的数与原数互为相反数，后面的数比原数大3，进而可得关系式．

解答：解：（1）由已知易得{K_n}是一个以1首项，以2为公比的等比数列，
∴K_n=2^n-1
∴K₆=32，…（3分）
上一行的数a，到下一行后分解为：-a，a+3，这两个数的和为3
当n≥2时，S_n=3×2^n-2
∴S₆=3×16=48…（6分）
（2）由（1）得S₁=1，
当n≥2时，S_n=3×2^n-2…（9分）
∵n=1时，3×2^n-2=

3

2

≠1
Sn=

1n=1 3×2n-2，n≥2，n∈N

即Sn=

1 n=1 3×2n-2n≥2，n∈N

…（10分）（注：仅有Sn=3×2n-2得2分）
（3）由已知中第n行第i个数，
在第n+1行为第2i-1和2i个数
前面的数与原数互为相反数，后面的数比原数大3
a_n+1，2i-1=-a_ni，…（13分）
a_n+1，2i=a_ni+3，i∈N…（16分）

点评：本题考查的知识点是归纳推理其中根据已知中的数表的前若干行，分析出数的变化规律及之间的关系是解答的关键．