题目内容

已知函数 是自然对数的底数)的最小值为
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)已知,试解关于的不等式
(Ⅲ)已知.若存在实数,使得对任意的,都有,试求的最大值.

(1)
(2)当时,不等式的解为;当时,不等式的解为
(3)3

解析试题分析:解:(Ⅰ)因为,所以,故
因为函数的最小值为,所以.              3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.
时,, 5分
故不等式可化为:
,           6分

所以,当时,不等式的解为
时,不等式的解为.          8分
(Ⅲ)∵当时,
.
∴原命题等价转化为:存在实数,使得不等式对任意恒成立.        10分
.
,∴函数为减函数.       11分
又∵,∴.          12分
∴要使得对值恒存在,只须.     13分

且函数为减函数,
∴满足条件的最大整数的值为3.   14分
考点:函数与不等式
点评:主要是考查了函数与不等式的综合运用,以及导数研究函数单调性的求解属于中档题。

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