Question

14£®ÒÑÖªº¯Êýf£¨x£©=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x£¨a£¼0£©
£¨1£©Èôº¯Êýf£¨x£©ÔÚ¶¨ÒåÓòÄÚµ¥µ÷µÝÔö£¬ÇóaµÄÈ¡Öµ·¶Î§£»
£¨2£©Èôa=-$\frac{1}{2}$ÇÒ¹ØÓÚxµÄ·½³Ìf£¨x£©=-$\frac{1}{2}$x+bÔÚ[1£¬4]ÉÏÇ¡ÓÐÁ½¸ö²»ÏàµÈµÄʵÊý¸ù£¬ÇóʵÊýbµÄÈ¡Öµ·¶Î§£»
£¨3£©Éè¸÷ÏîΪÕýµÄÊýÁÐ{a_n}Âú×㣺a₁=1£¬a _n+1=lna_n+a_n+2£¬n¡ÊN^*£¬ÇóÖ¤£ºa_n¡Ü2ⁿ-1£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©¶Ôº¯Êýf£¨x£©½øÐÐÇóµ¼£¬Áîµ¼Êý´óÓÚµÈÓÚ0ÔÚx£¾0ÉϺã³ÉÁ¢¼´¿É£®
£¨2£©½«aµÄÖµ´úÈëÕûÀí³É·½³ÌµÄÐÎʽ£¬È»ºóת»¯Îªº¯Êý¿¼ÂÇÆäͼÏóÓëxÖáµÄ½»µãµÄÎÊÌ⣮
£¨3£©Éèh£¨x£©=lnx-x+1È»ºóÇóµ¼£¬¿ÉÅжϺ¯Êýh£¨x£©µÄµ¥µ÷ÐÔ£¬ÔÙÓÉÊýѧ¹éÄÉ·¨µÃÖ¤£®

½â´ð ½â£º£¨1£©f¡ä£¨x£©=-$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$£¬£¨x£¾0£©
ÒÀÌâÒâf'£¨x£©¡Ý0ÔÚx£¾0ʱºã³ÉÁ¢£¬¼´ax²+2x-1¡Ü0ÔÚx£¾0ºã³ÉÁ¢£®
Ôòa¡Ü$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=£¨ $\frac{1}{x}$-1£©²-1ÔÚx£¾0ºã³ÉÁ¢£¬
¼´a¡Ü£¨£¨$\frac{1}{x}$-1£©²-1£©_min£¨x£¾0£©
µ±x=1ʱ£¬£¨$\frac{1}{x}$-1£©²-1È¡×îСֵ-1£¬
¡àaµÄÈ¡Öµ·¶Î§ÊÇ£¨-¡Þ£¬-1]£®
£¨2£©a=-$\frac{1}{2}$£¬f£¨x£©=-$\frac{1}{2}$x+b£¬
¡à$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
Éèg£¨x£©=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b£¨x£¾0£©Ôòg'£¨x£©=$\frac{£¨x-2£©£¨x-1£©}{2x}$£¬
ÁÐ±í£º

X	£¨0£¬1£©	1	£¨1£¬2£©	2	£¨2£¬4£©
g¡ä£¨x£©	+	0	-	0	+
g£¨x£©	¡ü	¼«´óÖµ	¡ý	¼«Ð¡Öµ	¡ü

¡àg£¨x£©¼«Ð¡Öµ=g£¨2£©=ln2-b-2£¬g£¨x£©¼«´óÖµ=g£¨1£©=-b-$\frac{5}{4}$£¬
ÓÖg£¨4£©=2ln2-b-2
¡ß·½³Ìg£¨x£©=0ÔÚ[1£¬4]ÉÏÇ¡ÓÐÁ½¸ö²»ÏàµÈµÄʵÊý¸ù£®
Ôò $\left\{\begin{array}{l}{g£¨1£©¡Ý0}\\{g£¨2£©£¼0}\\{g£¨4£©¡Ý0}\end{array}\right.$£¬µÃ£ºln2-2£¼b¡Ü-$\frac{5}{4}$£®
£¨3£©Éèh£¨x£©=lnx-x+1£¬x¡Ê[1£¬+¡Þ£©£¬Ôòh'£¨x£©=$\frac{1}{x}$-1¡Ü0
¡àh£¨x£©ÔÚ[1£¬+¡Þ£©Îª¼õº¯Êý£¬ÇÒh£¨x£©_max=h£¨1£©=0£¬¹Êµ±x¡Ý1ʱÓÐlnx¡Üx-1£®
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¼ÙÉèa_k¡Ý1£¨k¡ÊN^*£©£¬Ôòa_k+1=lna_k+a_k+2£¾1£¬¹Êa_n¡Ý1£¨n¡ÊN^*£©
´Ó¶øa_n+1=lna_n+a_n+2¡Ü2a_n+1£¬¡à1+a_n+1¡Ü2£¨1+a_n£©¡Ü¡­¡Ü2ⁿ£¨1+a₁£©
¼´1+a_n¡Ü2ⁿ£¬¡àa_n¡Ü2ⁿ-1£®

µãÆÀ ±¾ÌâÖ÷Òª¿¼²éº¯Êýµ¥µ÷ÐÔÓëÆäµ¼º¯ÊýÕý¸ºÖ®¼äµÄ¹Øϵ£¬¼´µ±µ¼º¯Êý´óÓÚ0ʱԭº¯Êýµ¥µ÷µÝÔö£¬µ±µ¼º¯ÊýСÓÚ0ʱԭº¯Êýµ¥µ÷µÝ¼õ£®