题目内容
19．已知曲线C：x2+y2=1，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$得到曲线C′；以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10．（1）写出曲线C′和直线l的普通方程；
（2）求曲线C′上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标．
分析 （1）曲线C：x2+y2=1，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得到曲线C′；直线l的极坐标系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得到直角坐标方程．
（2）设与直线2x+y-10=0平行且与椭圆C相切的直线方程为：2x+y-t=0．把y=t-2x代入曲线C的方程可得：25x2-16tx+4t2-36=0，令△=0，解得t，可得切点M，即可得出点M到直线l距离的最大值．
解答 解：（1）曲线C：x2+y2=1，将曲线C上的点按坐标变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}{x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入曲线C的方程可得：$\frac{（{x}^{′}）^{2}}{4}+\frac{（{y}^{′}）^{2}}{9}=1$，得到曲线C′；
直线l的极坐标系方程是ρ（2cosθ+sinθ）=10，化为2x+y-10=0．
（2）设与直线2x+y-10=0平行且与椭圆C相切的直线方程为：2x+y-t=0．
把y=t-2x代入曲线C的方程可得：25x2-16tx+4t2-36=0，（*）
令△=0，解得t=±5，取t=-5．
则方程（*）化为：（5x+8）2=0，
解得x=-$\frac{8}{5}$，y=$-\frac{9}{5}$，
∴切点M$（-\frac{8}{5}，-\frac{9}{5}）$，
∴点M到直线l距离的最大值=$\frac{|-\frac{16}{5}-\frac{9}{5}-10|}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线与椭圆相切用、点到直线的距离公式、相互平行的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，点E在线段AB上，AB=2AD=6．| A． | （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$） | B． | （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1） | C． | （$\frac{\sqrt{7}}{7}$，1） | D． | （0，$\frac{\sqrt{7}}{7}$） |
| A． | $\sqrt{37}$ | B． | $\sqrt{13}$ | C． | 3$\sqrt{7}$ | D． | 2$\sqrt{6}$ |
如图AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，M为AD上一点，且PB=PM=6，PD=4，连接BM并延长交圆O于点C，连接OC交AD于点N，则CN=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．