Question

已知数列{a_n}满足an=2an-1+2n-1(n≥2)，且a4=81．
（I）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（II）求证：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（III）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用已知条件直接求出a₃，然后求出a₂，a₁ 的值．
（II）由 a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，可得

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=1，从而得出结论．
（III）利用（II）求出通项公式，然后通过错位相减法求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（I）由 a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N₊，且n≥2）得 a₄=2a₃+2⁴-1=81，得a₃=33，
同理，可得 a₂=13，a₁=5．
（II）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，
∴

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

2an +2n+1-2

2n+1

-

2an-2

2n+1

=1，
故数列{

an-1

2n

}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（III）由（II）可得

an-1

2n

=2+（n-1）×1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ+n，
记T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，则有2T_n=2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ +（n+1）2ⁿ⁺¹．
两式相减，可得-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
解得  T_n=n×2ⁿ⁺¹，
故 S_n=T_n+n=n×2ⁿ⁺¹+n=n•（2ⁿ⁺¹+1 ）．

点评：点评：本题考查数列的定义判断等差数列的应用，数列求和的常用方法--错位相减法，考查计算能力．