Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1）时f（x）=log_0.5（1-x），则：
①2是函数f（x）的周期；
②f（x）在（1，2）上是增函数，在（2，3）上是减函数；
③f（x）的最大值是1，最小值是0；
④当x∈（3，4）时，f（x）=log_0.5（x-3）．
其中所有正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①利用函数周期性的定义判断．②利用函数的周期性，奇偶性和单调性的关系判断．③利用函数的单调性和周期确定函数的最值．④利用函数的周期性和奇偶性求函数的解析式．

解答：解：①因为f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函数是周期函数，周期为2，所以①正确．
②当x∈[0，1）时f（x）=log_0.5（1-x），此时函数单调递增．因为函数为偶函数，所以函数在（-1，0）上单调递减，
所以f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，所以②错误．
③由②知函数在x=0处取得最小值，在x=1处取得最大值，因为f（0=log_0.5（1-0）=0，所以最小值为0．因为函数的最大值为f（1），但f（1）没有具体的数值，所以③错误．
④若3＜x＜4，则-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log?_0.5[1-（4-x）]=log?_0.5（x-3），所以④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握函数的周期性，奇偶性和单调性的关系，综合性较强．