Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．
其中所有正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①中|x|恒为非负数，只要去掉常数项即可；
②分a=0与a≠0讨论解决；
③令g（x）=x²+ax-a，依题意，x²+ax-a=0有实数根，△≥0，从而可求得a的范围；
④函数y=f（x-1）是偶函数⇒y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，从而可判断④的正误；

解答：解：∵①中|x|恒为非负数，故只要去掉常数项即可，
∴当c=0时，f（x）=x|x|+bx，
∴f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x），
∴f（x）=x|x|+bx为奇函数；
反之，若f（x）=x|x|+bx+c为奇函数，则f（0）=c=0，
∴c=0，
∴函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，正确；
对于②，∵关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，
∴当a=0时，有-1=0，不符合题意，故舍去；
当a≠0时，ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则△=4a²+4a=0，
解得a=-1，a=0（舍去），
∴a=-1，故②正确；
③令g（x）=x²+ax-a，依题意，x²+ax-a=0有实数根，
∴△=a²+4a≥0，
解得：a≥0或a≤-4，故③正确；
对于④，∵函数y=f（x-1）是偶函数，
∴f（-x-1）=f（x-1），
∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，而不是关于直线x=0对称，故④错误；
综上所述，正确的是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、对称性与最值，属于中档题．