Question

18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称中心和对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，由周期公式可得，解不等式-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ可得单调增区间；
（2）解$2x+\frac{π}{4}=kπ$，可得f（x）的图象的对称中心，解$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ$可得对称轴方程．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=1+2sinxcosx+cos2x
=1+sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ可得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，\;\;（{k∈Z}）$，
∴f（x）的单调增区间是$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\;\;\frac{π}{8}+kπ}]$，k∈Z；
（2）令$2x+\frac{π}{4}=kπ$，则$x=-\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴f（x）的图象的对称中心为（-$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，1），k∈Z，
令$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ$，得x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z

点评 本题考查三角函数的单调性和对称性，属基础题．