题目内容
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]:在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)判断曲线,
是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由.
【答案】(1);
(2)
【解析】
(1)由题意,消去参数,即可得到曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可得到曲线
的直角坐标方程;
(2)由(1),将代入曲线
,求得
,
,在由曲线
,
两交点间的距离公式,即可求解。
(1)将,消去参数,得曲线
的直角坐标方程为
,
将展开整理,得
,
因为,
,
所以曲线的直角坐标方程为
.
(2)由(1)知曲线是过定点
的直线,因为点
在曲线
的内部,所以曲线
与曲线
相交.将
代入
并整理,得
,
设曲线,
的两交点为
,
,则
,
,
故曲线,
两交点间的距离
.
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