题目内容
16．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则f（$\frac{1}{k-1}$）与$\frac{1}{k-1}$大小关系一定是（ ）| A． | f（$\frac{1}{k-1}$）≥$\frac{1}{k-1}$ | B． | f（$\frac{1}{k-1}$）≤$\frac{1}{k-1}$ | C． | f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$ | D． | f（$\frac{1}{k-1}$）＜$\frac{1}{k-1}$ |
分析 根据f′（x）的定义，结合题意得出$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，令x=$\frac{1}{k-1}$，即可求出f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．
解答 解：∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，
且f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1；
令x=$\frac{1}{k-1}$，得f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$×k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$；
所以，f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．
故选：C．
点评 本题考查了导数的概念，不等式的化简与运算以及变量的代换问题与应用问题，是中档题目．
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| A． | ∅ | B． | {2} | C． | {0} | D． | {-2} |