Question

1．在用数学归纳法证明等式$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$时，当n=1左边所得的项是$\frac{1}{2}$；从”k→k+1”需增添的项是$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．

Answer 1

分析 把n=1代入即可求出，由数学归纳法可知n=k时，左端为$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$，到n=k+1时，左端为$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，从而可得答案．

解答 解：当n=1时，左边=$\frac{1}{1（1+1）}$=$\frac{1}{2}$；
②假设n=k时，$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{k}{k+1}$等式成立；
那么n=k+1时，$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{k（k+1）}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$，
所以从”k→k+1”需增添的项是$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{（k+1）（k+2）}$．

点评 本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．