Question

设数列{a_n}，a_n≠0，a₁=

5

6

，若以a_n-1，a_n为系数的二次方程：a_n-1x²+a_nx-1=0（n≥2，n∈N^*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0
（1）求证：{an-

1

2

}为等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式并求前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可得3a_n-1=a_n-1（n≥2），进一步整理可得3（a_n-

1

2

）=a_n-1-

1

2

（n≥2），从而可证{a_n-

1

2

}是公比为

1

3

，首项为

1

3

的等比数列；
（2）由（1）知，a_n=

1

2

+(

1

3

)n，利用分组求和的方法即可求得答案．

解答：解：（1）∵3（α+β）-αβ+1=0，
∴依题意，得3

an

an-1

-

1

an-1

=1（n≥2），
∴3a_n-1=a_n-1（n≥2），
∴3（a_n-

1

2

）=a_n-1-

1

2

（n≥2），
∴{a_n-

1

2

}是公比为

1

3

，首项为

5

6

-

1

2

=

1

3

的等比数列；
（2）由（1）知，a_n-

1

2

=

1

3

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，
∴a_n=

1

2

+(

1

3

)n，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（

1

2

+

1

3

）+（

1

2

+(

1

3

)2）+…+（

1

2

+(

1

3

)n）
=

n

2

+

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n+1

2

-

1

2×3n

．

点评：本题考查等比关系的确定与数列的求和，着重考查分组求和的应用，属于中档题．