Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n²，S_n，n成等差数列，a_n＞0（n∈N^*）．
（1）写出a_n与a_n-1（n≥2）的关系并求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；
（3）设x＞0，y＞0，且x+y=2，求（a_nx+2）²+（a_ny+2）²的最小值（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得由2Sn=

a

2 n

+n①当n≥2时，2Sn-1=

a

2 n-1

+(n-1)②，两式相减得数列的递推关系式，分别令n=1，2，3，即可求出a₁，a₂，a₃值．
（2）猜想an=n，检验n=2时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
（3）由于x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，利用基本不等式即可求出(anx+2)2+(any+2)2的最小值．

解答：解：（1）由2Sn=

a

2 n

+n①
可知，当n≥2时，2Sn-1=

a

2 n-1

+(n-1)②
①-②，得2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+1，即

a

2 n

=2an+

a

2 n-1

-1．（2分）
∵a_n＞0分别令n=1，2，3，得a₁=1，a₂=2，a₃=3．（4分）
（2）猜想：a_n=n，
1）当n=2时，结论显然成立．
2）假设当n=k（k≥2）时，a_k=k．
那么当n=k+1时，

a

2 k+1

=2ak+1+

a

2 k

-1=2ak+1+k²-1⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，
∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
这就是说，当n=k+1时也成立，∴a_n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
故对于n∈N^*，均有a_n=n（9分）
（3）∵x＞0，y＞0，且x+y=2，a_n=n，
∴(anx+2)2+(any+2)2=(nx+2)2+(ny+2)2≥

(nx+2+ny+2)2

2

=2(n+2)2，
∴(anx+2)2+(any+2)2的最小值为2（n+2）²．（13分）

点评：本小题主要考查数学归纳法的应用、基本不等式的应用、数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．