Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1,

(1)当a₁=2时,求a₂,a₃,a₄,并猜想a_n的通项公式;

(2)当a₁≥3时,证明对所有n≥1有a_n≥n+2.

Answer 1

解：(1)由a₁=2得a₂=a₁²-a₁+1=3;?

由a₂=3得a₃=a₂²-2a₂+1=4;?

由a₃=4得a₄=a₃²-3a₃+1=5.?

由此猜想a_n的一个通项公式为a_n=n+1(n≥1).?

(2)当n=1时,a₁≥3=1+2,不等式成立.?

假设当n=k时不等式成立,即a_k≥k+2,?

那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3.?

∴n=k+1时,a_k+1≥(k+1)+2.?

∴当n≥1时,a_n≥n+2.

温馨提示

从已知条件入手,寻求它们的内在联系,从而找出证明的途径,充分利用不等式的性质进行放缩证明.