[题目]如图.四棱锥中.底面为梯形. 底面. .过作一个平面使得平面.(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比,(2)若平面与平面之间的距离为.求直线与平面所成角的正弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图，四棱锥中，底面为梯形，底面， .过作一个平面使得平面.

（1）求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；

（2）若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）或.（2）

【解析】试题分析：（1）设平面与直线分别交于，因为平面，所以，可得分别是的中点，根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；（2）因为两两垂直，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）记平面与直线.

因为，所以.

由已知条件易知，又因.

所以

可得

所以.

即平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为.

（2）建立直角坐标系，记

则

因为平面的法向量

设得，

取得平面.

由条件易知点到平面距离.即.

所以.直线与平面所成角满足

【方法点晴】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

练习册系列答案

相关题目

【题目】如图所示，已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点为坐标原点)．

（1）证明: 动点在定直线上；

（2）作的任意一条切线 (不含轴), 与直线相交于点与（1）中的定直线相交于点．

证明: 为定值, 并求此定值．

【题目】已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），过A，B点分别作抛物线G的切线L1 ， L2 ，两切线L1 ， L2相交H（x，y），
（1）若k=1，有 L1⊥L2 ，求抛物线G的方程；
（2）若p=2，△ABH的面积为S1 ，直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2 ，证明：为定值．

【题目】某中学从参加环保知识竟赛的学生中抽取了部分学生的成绩进行分析，不过作好的茎叶图和频率分布直方图因故均受到不同程度的损坏，其可见部分信息如图所示，据此解答下列问题：

（1）求抽取学生成绩的中位数，并修复频率分布直方图；

（2）根据修复的频率分布直方图估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩。（以各组的区间中点值代表该组的各个值）

【题目】已知，设命题：指数函数≠在上单调递增.命题：函数的定义域为．若“”为假，“”为真，求的取值范围．

【题目】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共个，生产一个卫兵需分钟，生产一个骑兵需分钟，生产一个伞兵需分钟，已知总生产时间不超过小时，若生产一个卫兵可获利润元，生产一个骑兵可获利润元，生产一个伞兵可获利润元.

（1）用每天生产的卫兵个数与骑兵个数表示每天的利润（元）；

（2）怎么分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

【题目】以下四个命题中，正确命题的个数是（）
①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题；
②已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；
③直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是；
④ ．
A.1
B.2
C.3
D.4