Question

（本小题满分14分）定义在D上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界。已知函数，当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；若函数在上是以3为上界函数值，求实数的取值范围；若，求函数在上的上界T的取值范围。

Answer 1

（1）函数在上不是有界函数     （2）    （3）当时，的取值范围是；当时，的取值范围是      

解析:

（1）当时，.

∵在上递增，所以，即在上的值域为.    

故不存在常数，使成立. 所以函数在上不是有界函数. 

（2）∵函数在上是以3为上界的有界函数，

在上恒成立. ,在上恒成立.，设，，.由,得.设，则，，所以在 上递增，在上递减.

在上的最大值为，在上的最小值为.

所以实数的取值范围为.      

（3））方法一:，.∵ m>0 ，,.

∴，

∵∴.          

① 当，即时，，此时；

② 当，即时，，此时.

综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是      

方法二: .令，因为，所以.

.因为在上是减函数，所以.又因为函数在上的上界是，所以.当时，，;

当时，，.