Question

7．不等式a|x+$\frac{3}{2}$|-（a-1）≤a²+2-a|x-2|有解，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得a（|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|）≤a²+a+1=${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 有解，当a≤0时，不等式必有解．当a＞0时，由|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|≤a+$\frac{1}{a}$+1=f（a），利用绝对值的意义求得f（a）≥$\frac{7}{2}$，由此求得a的范围．

解答 解：不等式a|x+$\frac{3}{2}$|-（a-1）≤a²+2-a|x-2|有解，即 a（|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|）≤a²+a+1=${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 有解，
故当a≤0时，不等式必有解，现在讨论a＞0的情况．
此时，不等式即|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|≤a+$\frac{1}{a}$+1=f（a），
|x+$\frac{3}{2}$|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-$\frac{3}{2}$、2对应点的距离之和，它的最小值为$\frac{7}{2}$，
∴f（a）≥$\frac{7}{2}$，即  a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{5}{2}$，∴a≥2时，或0＜a≤$\frac{1}{2}$时，不等式有解．
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞），
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．