题目内容
已知函数,.
(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ) 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围;
(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.
(Ⅰ) 求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ) 若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围;
(Ⅲ) 若方程有唯一解,试求实数的值.
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)因为,所以切线的斜率
2分
又,故所求切线方程为,即 4分
(Ⅱ)因为,又,所以当时,;当时, .
即在上递增,在上递减 5分
又,所以在上递增,在上递减 6分
欲与在区间上均为增函数,则,解得 8分
(Ⅲ) 原方程等价于,令,则原方程即为. 9分
因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点 10分
又,且,
所以当时,,函数单调递增;当时, ,函数单调递减.
故在处取得最小值. 12分
从而当时原方程有唯一解的充要条件是. 13分
点评:第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率,进而得到直线方程,由导数大于零可求得增区间,导数小于零可得减区间,第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点,结合图像需求函数最值
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