题目内容
.(本小题满分13分)
已知数列中,,,其前项和为,且当时,.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)令,记数列的前项和为,证明对于任意的正整数,都有成立.
(Ⅰ)证明:当时,,
所以.
又由,可推知对一切正整数均有,
∴数列是等比数列. ……… 4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知等比数列的首项为1,公比为4,
∴.当时,,又,
∴ ………7分
(Ⅲ)证明:当时,,此时
,
又,
∴. ………9分
,
当时,=
. ……… 12分
又因为对任意的正整数都有所以单调递增,即,
所以对于任意的正整数,都有成立. ……… 13分
所以.
又由,可推知对一切正整数均有,
∴数列是等比数列. ……… 4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知等比数列的首项为1,公比为4,
∴.当时,,又,
∴ ………7分
(Ⅲ)证明:当时,,此时
,
又,
∴. ………9分
,
当时,=
. ……… 12分
又因为对任意的正整数都有所以单调递增,即,
所以对于任意的正整数,都有成立. ……… 13分
略
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