Question

2．已知函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx（a∈R）$，g（x）=-$\frac{a}{x}$，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，转化 $\frac{a}{2}$＞$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上有解，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用导数，通过导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即 $\frac{a}{2}$＞$\frac{lnx}{x}$在[1，e]上有解，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴$\frac{a}{2}$＞h（1）=0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故选：B．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．