Question

已知圆，点，直线.

⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

（1）
（2）存在点对于圆上任一点，都有为常数。

⑴设所求直线方程为，即，
直线与圆相切，∴，得，
∴所求直线方程为
⑵方法1：假设存在这样的点，
当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，
依题意，，解得，（舍去），或。
下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数。
设，则， 
∴，
从而为常数。                                  
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴，将代入得，
，即
对恒成立，         
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。