Question

（2012•肇庆二模）如图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB．
（1）求证：BE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥D-BCE的体积最大时，求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明BE⊥平面ACD，关键是证明BE垂直于平面中的两条相交直线，即证BE⊥AC，而DE是圆柱上底面的直径，所以BE⊥BD，故可得结论；
（2）△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE⊥平面AOC，连接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，可得∠AOC是二面角C-DE-A的平面角，进而可求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

解答：（1）证明：∵AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，
∴AC垂直圆柱的底面，即AC⊥平面BDF，（1分）
∵BE?平面BDF，∴BE⊥AC（2分）
∵DE是圆柱上底面的直径，∴BE⊥BD（3分）
∵AC?平面ACD，BD?平面ACD，且AC∩BD=B（4分）
∴BE⊥平面ACD（5分）
（2）解：∵DE是圆O的直径，
∴∠DBE是直角，DE=BF=2AB=4
设BD=x，（0＜x＜4），在直角△BDE中，BE=

DE2-BD2

=

16-x2

＞0，（6分）
S△DBE=

1

2

BD•BE=

1

2

x

16-x2

≤

x2+ 16-x2 2

4

=4，（8分）
当且仅当x=

16-x2

，即x=2

2

时“=”成立，（9分）
∵三棱锥D-BCE的体积等于三棱锥C-DBE的体积，而三棱锥C-DBE的高BC=2，
∴△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，
此时，BD=BE=2

2

，即△BDE是等腰直角三角形                （10分）
∴BO⊥DE
∵AC⊥DE，AC∩BO=O
∴DE⊥平面AOC（11分）
连接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，∴∠AOC是二面角C-DE-A的平面角       （12分）
在△AOC中，∠AOC=∠BOC+∠AOB
又tan∠BOC=

BC

BO

=

2

2

=1，0＜∠BOC＜

π

2

，∴∠BOC=

π

4

同理可得∠AOB=

π

4

，∴∠AOC=

π

2

（13分）
∴cos∠AOC=cos

π

2

=0，即二面角C-DE-A的平面角的余弦值为0．（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．