题目内容

16、定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+1）=f（x）+1成立，且f（1）=2，记an=f（n）（n∈N*），则a2010=
2011
．
分析：先由an=f（n）（n∈N*），f（x+1）=f（x）+1知道数列{an}的递推关系，又由f（1）=2，可以判断数列{an}是等差数列，
通过等差数列的定义，求出其通项公式，从而求得a2010的值．
解答：解：∵an=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴an+1=an+1，又知a1=f（1）=2，所以有等差数列的定义，
可知数列{an}是以首项为2，公差为1的等差数列．
∴an=2+（n-1）×1=n+1，
∴a2010=2011．
故答案为 2011．
点评：此题考查函数与数列的关系，及等差数列的定义．
练习册系列答案
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定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为
 
．
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=
 
．
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+
π
3
）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）

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