Question

11．（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log_（c+b）a+log_（c-b）a=2log_（c+b）a•log_（c-b）a．
（2）已知log${\;}_{{a}_{1}}$b₁=log${\;}_{{a}_{2}}$b₂=…=log${\;}_{{a}_{n}}$b_n=λ，求证：log${\;}_{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（b₁b₂…b_n）=λ．

Answer 1

分析 （1）题意，利用对数换底公式log_（c+b）a=log_a（c+b），log_（c-b）a=log_a（c-b），证明左端=右端即可；
（2）由题意可得b₁=a₁^λ，…，b_n=a_n^λ，从而证得结合．

解答 证明：（1）由勾股定理得a²+b²=c²，即a²=c²-b²，
∴右边=2log_（c+b）a•log_（c-b）a=$\frac{2}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}{a}^{2}}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}{（c}^{2}-{b}^{2}）}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}（c-b）+{log}_{a}（c+b）}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{1}{{log}_{a}（c+b）}$+$\frac{1}{{log}_{a}（c-b）}$=log_（c+b）a+log_（c-b）a=左边，
∴原等式成立；
（2）∵log${\;}_{{a}_{1}}$b₁=log${\;}_{{a}_{2}}$b₂=…=log${\;}_{{a}_{n}}$b_n=λ，
∴b₁=a₁^λ，…，b_n=a_n^λ，
∴b₁b₂…b_n=a₁^λ•…•a_n^λ=（a₁a₂a₃…a_n）^λ，
∴log${\;}_{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（b₁b₂…b_n）=λ．

点评 本题考查对数换底公与对数运算性质的应用，考查正向思维与逆向思维的综合应用，考查推理证明与运算能力，属于中档题