Question

（2011•洛阳二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），直线l的参数方程为

x=- 3 +t y= 3 t

（t为参数）．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C₂的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0）．
（1）当直线l与曲线C₂相切时求a的值；
（2）求直线l被曲线C₁所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，建立等式，即可求a的值；
（2）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用参数的几何意义，即可求弦长．

解答：解：（1）直线l的参数方程为

x=- 3 +t y= 3 t

（t为参数），化为普通方程为y=

3

(x+

3

)，即

3

x-y+3=0
曲线C₂的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0），化为直角坐标方程为x²+y²-ay=0，即x2+(y-

a

2

)2=

a2

4

∵直线l与曲线C₂相切，
∴

|- a 2 +3|

3+1

=

a

2

，∴a=2；
（2）曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），化为普通方程为

x2

4

+y2=1
直线l的参数方程，可化为

x=- 3 + 1 2 t y= 3 2 t

（t为参数），代入椭圆方程可得13t²-4

3

t-4=0
设方程的根为t₁，t₂，∴t₁+t₂=

4 3

13

，t₁t₂=-

4

13

∴直线l被曲线C₁所截得的弦长为|t₁-t₂|=

( 4 3 13 )2+ 16 13

=

16

13

．

点评：本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．