题目内容
【题目】如图，长方体
被经过
的动平面
所截，分别与棱
，
交于点
，
，得到截面
，已知
，
.
（1）求证：
；
（2）若直线
与截面所成角的正弦值为
，求
的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）由于
，
，
两两垂直，所以以
为原点，分别以，，，所在直线为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，由题可知
，若设出点
，则可表示出点
的坐标，从而可得到向量
坐标，得
，所以
；
（2）设
，先求出平面
的法向量
，然后利用空间向量结合向量的夹角公式求解即可.
（1）以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系.则
，
，
，
，
.
依题意易得，设
，则
，
所以
，而
，所以，所以.
（2）因为
，，
，设平面的法向量为
，则
，令
，则，
设直线
与截面所成角为
，所以
，
解得
，所以
.
【题目】
年，某省将实施新高考，
年秋季入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用
模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各
分，另外，考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物
门科目中自选
门参加考试（选），每科目满分
分.为了应对新高考，某高中从高一年级
名学生（其中男生
人，女生
人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查.
（1）已知抽取的n名学生中含女生
人，求n的值及抽取到的男生人数；
（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的
名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下面表格是根据调查结果得到的
列联表，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
选择“物理” | 选择“历史” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
（3）在抽取到的名女生中，在（2）的条件下，按选择的科目进行分层抽样，抽出名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这名女生中再抽取人，求这人中选择“历史”的人数为
人的概率.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
