题目内容
【题目】如图,在四边形中,
,
,
,
,
,E是
的中点.现将
沿
翻折,使点A移动至平面
外的点P.
(1)若,求证:
平面
;
(2)若平面平面
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)法一:在线段上取靠近点P的四等分点G,连接
,
,证出四边形
为平行四边形,从而可得
,再利用线面平行的判定定理即可证出. 法二:在线段
上取靠近点B的四等分点H,连接
,
,证出
平面
,
平面
,利用面面平行的判定定理可得平面
平面
,再利用面面平行的性质定理即可证出.
(2)以E为原点,为
轴,
为
轴,过点E垂直平面
的垂线为
轴, 建立空间直角坐标系
,求出平面
的一个法向量,取平面
的一个法向量为
,利用空间向量的数量积即可求解.
(1)法一:依题意得,
,
,且
,
如图,在线段上取靠近点P的四等分点G,连接
,
,
因为,所以
,
.
所以,
所以四边形为平行四边形,可得
又平面
,
平面
,
所以平面
法二:如图,在线段上取靠近点B的四等分点H,连接
,
,
因为,所以
.
又平面
,
平面
,
所以平面
依题意得,
,
,且
,
而,所以
,
.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又平面
,
平面
,
所以平面
而平面
,
平面
,
,
所以平面平面
.
因为平面
,所以
平面
(2)由,得
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
以E为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
由,得
则,
.
设平面的法向量为
,
则,即
,
故可取
又平面
,可取平面
的一个法向量为
,
则.
所以,平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检件,并按质量指标值进行统计分析,得到表格如表:
质量指标值 | 等级 | 频数 | 频率 |
三等品 | 10 | 0.1 | |
二等品 | 30 | ||
一等品 | 0.4 | ||
特等品 | 20 | 0.2 | |
合计 | 1 |
(1)求,
,
;
(2)从质量指标值在的产品中,按照等级分层抽样抽取6件,再从这6件中随机抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.