题目内容

数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=
13
Sn
,n=1,2,3,…,求
(Ⅰ)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)a2+a4+a6+…+a2n的值.
分析:(I)由题设条件得a2=
1
3
S1=
1
3
a1=
1
3
a3=
1
3
S2=
1
3
(a1+a2)=
4
9
a4=
1
3
S3=
1
3
(a1+a2+a3)=
16
27
,再由an+1-an=
1
3
(Sn-Sn-1)=
1
3
an
(n≥2),得an+1=
4
3
an
(n≥2),由此能够求出数列{an}的通项公式.
( II)由( I)可知a2,a4,…,a2n是首项为
1
3
,公比为(
4
3
)2
项数为n的等比数列,由此能求出a2+a4+a6+…+a2n的值.
解答:解:(I)由a1=1,an+1=
1
3
Sn
,n=1,2,3,…,
a2=
1
3
S1=
1
3
a1=
1
3
a3=
1
3
S2=
1
3
(a1+a2)=
4
9
a4=
1
3
S3=
1
3
(a1+a2+a3)=
16
27
,(3分)
an+1-an=
1
3
(Sn-Sn-1)=
1
3
an
(n≥2),得an+1=
4
3
an
(n≥2),(6分)
又a2=
1
3
,所以an=
1
3
(
4
3
)n-2
(n≥2),(8分)
∴数列{an}的通项公式为an=
1n=1
1
3
(
4
3
)
n-2
n≥2
;(9分)

( II)由( I)可知a2,a4,…,a2n是首项为
1
3
,公比为(
4
3
)2
项数为n的等比数列,(11分)
∴a2+a4+a6+…+a2n=
1
3
1-(
4
3
)
2n
1-(
4
3
)
2
=
3
7
[(
4
3
)2n-1]
(13分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用.
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