题目内容
6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$（c2=a2+b2）上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是$\sqrt{3}$．分析 依题意，△PF1F2为直角三角形，利用勾股定理与双曲线的定义，结合|PF1|•|PF2|=4ab，即可求得双曲线的离心率．
解答 解：∵PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，
∴点P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，m）在以原点为圆心，半径为c的圆上，
∴（$\frac{{a}^{2}}{c}$）2+m2=c2，得：m2=c2-（$\frac{{a}^{2}}{c}$）2①
又|PF1|•|PF2|=|F1F2|•m=2cm=4ab，②
联立①②得：e4-4e2+3=0，解得：e2=3或e2=1（舍去）
∴双曲线的离心率e=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．
点评 本题考查双曲线的简单性质，考查分析与转化解决问题的能力，属于中档题．
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