Question

18．若$\frac{a}{{x}^{2}-yz}$=$\frac{b}{{y}^{2}-zx}$=$\frac{c}{{z}^{2}-xy}$．求证：ax+by+cz=（x+y+z）（a+b+c）

Answer 1

分析 设$\frac{a}{{x}^{2}-yz}$=$\frac{b}{{y}^{2}-zx}$=$\frac{c}{{z}^{2}-xy}$=k，则a=k（x²-yz），b=k（y²-zx），c=k（z²-xy），可得a+b+c=k（x²+y²+z²-xy-xz-yz），ax+by+cz=k（x³-xyz+y³-xyz+z³-xyz），代入化简即可证明．

解答 证明：设$\frac{a}{{x}^{2}-yz}$=$\frac{b}{{y}^{2}-zx}$=$\frac{c}{{z}^{2}-xy}$=k，则a=k（x²-yz），b=k（y²-zx），c=k（z²-xy），
∴a+b+c=k（x²+y²+z²-xy-xz-yz），
ax+by+cz=k（x³-xyz+y³-xyz+z³-xyz），
∴右边=（x+y+z）（a+b+c）=k（x²+y²+z²-xy-xz-yz）（x+y+z）=k（x³-xyz+y³-xyz+z³-xyz）=左边．
∴ax+by+cz=（x+y+z）（a+b+c）．

点评 本题考查了代数式的运算性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．