Question

（本小题满分12分）如图在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG//平面DEF；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求直线GB与平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）,证明略。
（Ⅱ）取的中点，则点可使平面平面，证明略。
（Ⅲ）

解：
（Ⅰ）在中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴，∴，同理可得 
∵，∴平面ABC
∵平面ABC，∴。
（Ⅱ）如图所示取PC的中点G，则点G可使平面ABG//平面DEF。
连结AG、BG，∵PF:FC=3:1，∴F为GC的中点
又D、E分别是BC、AC的中点，
∴AG//EF，同时易知BG//FD，又，
∴平面ABG//平面DEF，即PC的中点G可使平面ABG//平面DEF。
（Ⅲ）由（Ⅱ）)知G为PC的中点，连结GE，则有平面ABC，连接EB，
则EB是GB在平面ABC内的射影，
所以是与平面ABC所成的角，而，，
所以，所以直线与平面ABC所成角的正弦值是。