题目内容
【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)圆是以
为直径的圆,一直线
与圆
相切,并与椭圆交于不同的两点
、
,当
,且满足
时,求
的面积
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先利用平面向量共线得到是线段
的中点,再利用三角形的中位线和待定系数法进行求解;(Ⅱ)先利用直线与圆相切得到
,再联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公式得到有关表达式,再利用函数的单调性进行求解.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
是线段
的中点,所以
是
的中位线,又
所以
,所以
,又因为
,
解得,所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)因为直线与
相切,所以
,即
联立得
.
设
因为直线与椭圆交于不同的两点
、
,
所以,
,
,又因为
,所以
解得.
,
设,则
单调递增,
所以,即
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2016年时红军长征胜利80周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答,宣传长征精神.首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动,其次在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星,每人获得一个纪念品,其数据表格如下:
公园 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
获得签名人数 | 45 | 60 | 30 | 15 |
(Ⅰ)求此活动中各公园幸运之星的人数;
(Ⅱ)从乙和丙公园的幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访,求这两人均来自乙公园的概率;
(Ⅲ)电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查,统计结果如下(单位:人):
有兴趣 | 无兴趣 | 合计 | |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合计 | 40 | 20 | 60 |
据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.
临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式: .