Question

（2012•济南三模）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-1，

3

）．
（Ⅰ）求sin2α-tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα，求函数g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数的定义，求出sinα、cosα和tanα的值，结合二倍角正弦公式代入，可得sin2α-tanα的值；
（II）由两角和的余弦公式，化简得f（x）=cosx，再代入g（x）表达式，结合诱导公式、二倍角余弦公式和辅助角公式化简，可得g（x）=2sin（2x-

π

6

），由此结合正弦函数的图象与性质，不难得到g（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为角α的终边经过点P（-1，

3

），所以|OP|=

(-1)2+( 3 )2

=2
∴sinα=

3

2

，cosα=-

1

2

，tanα=

3

-1

=-

3

------------（3分）
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×

3

2

×（-

1

2

）-（-

3

）=

3

2

----------（6分）
（2）f（x）=cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα=cos[（x+α）-α]=cosx，--------（8分）
∴g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1=

3

cos（

π

2

-2x）-2cos²x+1
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

），----（10分）
∵x∈[0，

2π

3

]，2x∈[0，

4π

3

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]
∴当x=0时，sin（2x-

π

6

）=-

1

2

为最小值；当x=

π

3

时，sin（2x-

π

6

）=1为最大值
即g（x）=2sin（2x-

π

6

）-1的最小值为g（0）=-1；最小值为g（

π

3

）=2．
所以函数g（x）=

3

f（

π

2

-2x）-2f²（x）+1在区间[0，

2π

3

]上的取值范围是[-1，2]．-------（12分）

点评：本题根据三角函数的定义，求α的正弦、余弦和正切值，求三角式的值并求另一个函数在闭区间上的取值范围，着重考查了三角函数的定义、和与差的三角函数公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质和辅助角公式等知识，属于中档题．