题目内容
12．已知△ABC中，a=3${\;}^{\frac{1}{2}}$，$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，求三角形周长．分析 由$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，由正弦定理可得：$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，化为sinC+sinB=2sinA，由正弦定理可得：c+b=2a，即可得出．
解答 解：∵$\frac{b+c}{a}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
由正弦定理可得：$\frac{sinB+sinC}{sinA}$=$\frac{2-cosB-cosC}{cosA}$，
化为sinBcosA+sinCcosA=2sinA-sinAcosB-sinAcosC，
∴sinBcosA+sinAcosB+sinAcosC+sinCcosA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
即sinC+sinB=2sinA，
由正弦定理可得：c+b=2a，
∴三角形周长=a+b+c=3a=3$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的周长计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{14}$ | B． | $\frac{1}{16}$ | C． | $\frac{1}{18}$ | D． | $\frac{1}{20}$ |
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| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |