Question

7．已知M是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为$\frac{1}{2}$，x，y则xy的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{14}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{18}$
• D． $\frac{1}{20}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，再利用基本不等式求xy的最大值．

解答 解：由已知得 $\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=bccos∠BAC=2 $\sqrt{3}$⇒bc=4，
故S_△ABC=x+y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=1⇒x+y=$\frac{1}{2}$，又x＞0，y＞0所以xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{16}$；
当且仅当x=y等号成立；
故选B．

点评 本题考查了向量的数量积以及三角形的面积公式、基本不等式的运用求最值．属于中档题．