Question

【题目】已知函数（为常数，…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．

Answer 1

【答案】（1）（2）的单调递增区间为，单调递减区间为（3）见解析

【解析】

（1）先求导得，由曲线在点处的切线与轴平行可得，求得；

（2）由（1）得，当时，；当时，，由此判断函数的增减性；

（3），可结合（2）中求导，得，又，所以满足，进而得证

解：（1）由，得，，

由于曲线在点处的切线与轴平行．所以，因此．

（2）由（1）得，，令，，

当时，；当时，．

又，所以时，；时，．

因此的单调递增区间为，单调递减区间为

（3）因为，所以，，

由（2）得，，求导得．

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

故

所以当时，．又当时，，

所以当时，，即．综上所述结论成立