Question

在圆O：x²+y²=4上任取一点P，过P点作X轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时．
（1）求线段PD的中点M轨迹方程．
（2）若圆M与圆O关于直线l：y=x-2对称，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）确定P、D坐标之间的关系，利用点P在圆C：x²+y²=4上，即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）求出点O关于直线的对称点M的坐标，即可得到圆M的方程．

解答：解：（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意x=x′，y=

y′

2

∴x′=x，y′=2y
又点P在圆O：x²+y²=4上，∴（x′）²+（y′）²=4，即x²+4y²=4
∴线段PD的中点M轨迹方程为x²+4y²=4；
（2）设M（a，b），则

b a ×1=-1 b 2 = a 2 -2

，∴a=2，b=-2
∴M（2，-2）
∵圆M与圆O关于直线l：y=x-2对称，
∴圆M的方程为（x-2）²+（y+2）²=4

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．