Question

17．已知函数f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最值；
（3）指出函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用周期公式即可得解；
（2）由正弦函数的图象和性质，即可得到所求．
（3）利用三角函数的单调性结合已知即可得解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos⁴x
=（sin⁴x-cos⁴x）+$\sqrt{3}$•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最大值为2，最小值为-2．
（3）∵当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，即kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）时，函数f（x）单调增．
∴函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为：[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π]．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的值域，属于中档题．