题目内容
【题目】多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯
（结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有
，
，
，
，
，
，
，等，则结构含有正六边形的个数为（ ）
A.12B.24C.30D.32
【答案】D
【解析】
利用欧拉定理：顶点数＋表面数－棱长数＝2，即
；与多边形的边数为
的棱数建立方程组得解.
设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有
和
个，
,
，
由欧拉公式 可得
即
又由多边形的边数可表示的棱数，
即
，即
解得
结构含有正六边形的个数为
故选：D
练习册系列答案
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【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| .15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
