题目内容
【题目】已知椭圆,四点
,
,
,
中恰有三点在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率不为
的直线
交椭圆
于
、
两点,在
轴上是否存在定点
,使得直线
的斜率与直线
的斜率之积为定值?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,点
的坐标为
.
【解析】
(1)根据椭圆的对称性可知点、
、
在椭圆
上,可得出关于
、
的方程组,解出
和
的值,即可求得椭圆
的方程;
(2)设直线的方程为
,设点
、
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,结合斜率公式并代入韦达定理,由已知条件可求得实数
的值,进而得解.
(1)由于、
两点关于
轴对称,故由题设知
经过
、
两点
易知椭圆不经过点
,所以点
在
上,因此
,解得
,
因此,椭圆的方程为
;
(2)由题意知直线的斜率不为
,
设直线的方程为
,设点
,
,
,
设直线的斜率为
,直线
的斜率为
.
由,消去
,得
,
易知,得
,
,
.
当,即
时,
为定值,
当时,
;当
时,
.
此时点的坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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每件中药材的质量(单位:克) | 购买价格(单位:元/件) |
(i)估计药店所购买的
件中药材的总质量;
(ii)若药店所购买的
件中药材的总费用不超过
元.求
的最大值.