题目内容
【题目】如图，曲线
是以原点O为中心、
为焦点的椭圆的一部分，曲线
是以O为顶点、
为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且
为钝角，若
，
.
（1）求曲线和的方程；
（2）过作一条与
轴不垂直的直线，分别与曲线
依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问
是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.
【答案】（1）椭圆方程为
，抛物线方程为
； （2）见解析。
【解析】
（1）因为在椭圆中2a＝|AF1|+|AF2|
6，所以可求曲线C1方程．因为曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点．|AF1|
，|AF2|
，所以利用抛物线定义，可求曲线C2方程；
（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F2作的与x轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求
的值，看结果是否为定值．
（1）设椭圆方程为
，则
，得
设
，
，
则
，
，
两式相减得
，由抛物线定义可知
，
则
，
或
，
（舍去）
所以椭圆方程为，抛物线方程为。
另解：过
作垂直于x轴的直线
，即抛物线的准线，作AH垂直于该准线，
作
轴于
，则由抛物线的定义得
，
所以
，
，得
，所以c＝1，
，
所以椭圆方程为，抛物线方程为。
（2）设
，
，
，
，
直线
，代入得，
，即
，
则
，
同理，将
代入得：
，
则
，
，
所以
为定值.
练习册系列答案
相关题目
