题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的左右焦点分别为
,
,若椭圆上一点
满足
,且椭圆
过点
,过点
的直线
与椭圆
交于两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作
轴的垂线,交椭圆
于
,求证:
,
,
三点共线.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由椭圆定义可得,再把点
的坐标代入可求得
,得椭圆方程;
(2)由于的坐标为
,因此我们可以求出直线
的方程,再证明点
在此直线上即可.为此设设
的方程为
,点
,
,
,联立直线方程与椭圆方程,消元后得一元二次方程,用韦达定理得
,写出直线
方程,并把
代入得直线方程,令
,求出
,利用
可得结果
,结论得证.
试题解析:
(1)依题意, ,故
.
将代入
中,解得
,故椭圆
:
.
(2)由题知直线的斜率必存在,设
的方程为
.
点,
,
,联立
得
.
即,
,
,
由题可得直线方程为
,
又∵,
.
∴直线方程为
,
令,整理得
,即直线
过点
.
又∵椭圆的左焦点坐标为
,∴三点
,
,
在同一直线上.
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