题目内容

已知数列{an}满足a1=1，a2=-1，当n≥3，n∈N*时，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在k∈N*，使得n≥k时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点、、（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）构造新数列，利用叠加法，即可确定数列{an}的通项公式；
（2）先求和，进而将不等式等价变形，利用不等式对任意实数λ∈[0，1]恒成立，可得不等式组，从而可得结论；
（3）由题意，三点满足方程y=2x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜＜，从而对应垂直平分线的斜率k1＜k2＜0，故对应垂直平分线不可能相交于x轴，由此可得结论．
解答：解：（1）n≥3，n∈N*时，设，则=
∴bn=b3+（b4-b3）+…+（bn-bn-1）=b3+3（-）
∵，∴
∵a2=-1，∴=
∴bn=+3（-）=（n≥3）
∴an=2n-5（n≥3）
n=2时，满足上式；n=1时，不满足上式
∴；
（2）Sn=
当n=1时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4可化为λ≥，不满足条件；
当n≥2时，不等式Sn+（2λ-1）an+8λ≥4可化为2（2n-1）λ+n2-6n+5≥0
令f（λ）=2（2n-1）λ+n2-6n+5，则f（λ）≥0对任意实数λ∈[0，1]恒成立
∴，∴，∴n≤1或n≥5
∴满足条件的k的最小值为5；
（3）由题意，三点满足方程y=2x+5，函数为增函数，当n＞m＞k≥2时，0＜＜
∴对应垂直平分线的斜率k1＜k2＜0
∴对应垂直平分线不可能相交于x轴
∴x轴上不存在定点A，使得三点、、（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等．
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的确定，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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