题目内容

如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O,将正方形ABCD沿对角线BD折起,得到三棱锥A—BCD。
(1)求证:平面AOC⊥平面BCD;
(2)若三棱锥A—BCD的体积为,求AC的长。

(1)证明:因为是正方形,
所以.…………………………1分
在折叠后的△和△中,
仍有.…………………………2分
因为,所以平面.………3分
因为平面
所以平面平面.…………………………4分
(2)解:设三棱锥的高为
由于三棱锥的体积为
所以.因为,所以.…5分

以下分两种情形求的长:
①当为钝角时,如图,过点的垂线交的延长线于点
由(1)知平面,所以
,且,所以平面
所以为三棱锥的高,即.………………………………………6分
中,因为
所以
.………………7分
中,因为
.…………………………8分
所以.…………………………9分
②当为锐角时,如图,过点的垂线交于点
由(1)知平面,所以
,且,所以平面
所以为三棱锥的高,即
中,因为
所以
.…………10分
中,因为

所以.…………………11分
综上可知,的长为
本试题主要是考查立体几何中垂直的证明,以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积,得到AC的长度。
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