Question

1．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点$P（\frac{π}{12}，\;0）$，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为$（\frac{π}{3}，\;5）$．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）的对称轴．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A，T，利用周期公式可求ω，由$5sin（2×\frac{π}{12}+φ）=0$，得φ，求得解析式；
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，得增区间$；
（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），利用$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，可解得g（x）的对称轴．

解答 解：（1）由已知可得$A=5，\;\;\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}\;\;\;∴T=π\;\;ω=2$，
∴y=5sin（2x+φ），
由$5sin（2×\frac{π}{12}+φ）=0$，得$\frac{π}{6}+φ=0\;\;\;∴φ=-\frac{π}{6}$，
∴$y=5sin（2x-\frac{π}{6}）$．…（4分）
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，得kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;\;（k∈z）$，
∴增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}，\;kπ+\frac{π}{3}}]（k∈z）$，…（8分）
（3）$g（x）=5sin[{2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}}]-2=5sin（2x+\frac{π}{6}）-2$，…（10分）
由$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，可解得g（x）的对称轴为：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$．…（12分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．